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循序渐进 水到渠成—高中数学“古典概型”中的概念教学案例
发布时间:2012-03-01 点击数:3150

 

 

循序渐进   水到渠成

   —高中数学古典概型”中的概念教学案例

嘉兴市第一中学  沈微微

一、 教学设计背景

1.课程标准  概率是研究随机现象规律的学科,它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法,同时为统计学的发展提供理论基础.概率与统计的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识.新课程教材采用“模块化”,概率内容在必修3和选修2-3中两次出现:必修3中,学生在初中学习概率的基础上,通过实践问题情景,结合具体实例,学习概率的基本概念、意义、基本性质和古典概型、几何概型等简单的概率模型,加深对随机现象的理解;选修2-3中,学生将进一步学习利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象,体会二项分布和超几何发布等概率模型的作用及应用.知识安排整体呈现螺旋式上升的特点.

新课程概率内容安排的另外一个特点是概率学习在前,排列组合学习在后,强调对概率本质的认识,避免以往在概率学习中把重点放在“如何计数”上,把概率混同于排列组合计数问题,机械套用公式,过度强化技巧,而忽视了对概率本质的理解和把握.

2.教学进行时  高一上学期在数学3学习了“算法案例”和“统计”之后,进入了第三章“概率”的学习.学生在学习了随机事件的概率,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性的基础上,得到了用频率估计概率的思想和方法,并通过用概率知识澄清日常生活中遇到的一些错误认识,加深了对概率意义的正确理解,概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式等知识的学习又为简化概率的计算提供依据.

    通过试验和观察的方法,虽然可以得到一些事件的概率估计:如抛硬币试验,但是这种通过大量重复试验,用频率估计概率的方法耗时多,并且得到的仅是概率的近似值,有没有更方便、更有效、更精确的计算概率的方法呢?古典概型的知识构建顺应的是学生内在的认知需要,符合学生的认知规律.

二、教学设计思路

1设计理念  概率教学的核心任务是让学生理解概率的意义和概率的思想,学会用概率知识解释和解决一些实际问题.古典概型作为一种特殊而重要的概率模型,一方面有着其独有的特征,必须准确理解严格把握;另一方面,与日常生活息息相关,应用非常广泛,充满着问题解决的情景.故本课采用探究式教学,重点是古典概型的概念教学,创设适当的问题情景,引发必要的认知冲突,通过对教材内容的再创造,再设计,构建一个反映数学内在发展逻辑、符合学生数学认知规律的概念体系,呈现概念的来龙去脉,揭示概念的内涵和外延,突出概念的核心,引导学生观察、思考、分析、归纳、尝试、体验,亲历概念的生成,从浅入深,逐步加深对古典概型本质的理解,掌握研究途径,领悟思想方法,用问题引导思维,以活动培养能力.

2.设计重点  概念的动态生成.灵活创设情景,主动“创造”知识,有效提升能力.

3难点突破  古典概型的特征,实验结果的有限性和等可能性.

三、教学过程实录

(一)情境创设,引入课题

1卡尔的预言

人称数学怪杰的意大利数学家卡尔曾专门探讨过赌博中骰子出点的规律.提出过这样一个问题:掷一白一蓝两颗骰子,以两颗骰子朝上的点数之和打赌。你认为赌注下几点上最有利?

卡尔曾预言押在7最好.你认为赌注下几点上最有利?为什么?

2.复习回顾

师:这个问题的本质是概率计算: 掷两颗骰子,求骰子朝上的点数之和为7的概率.如何来求随机事件的概率呢?

师生共同回顾已学的知识:可以通过试验,用频率估计概率,但是耗时多,不精确;可以用概率加法公式,但首先需要知道互斥事件的概率.有没有更方便、更有效、更精确的计算概率的方法呢?

【设计意图】问题出在学生思维水平的最近发展区,打破已有的认知平衡,引发认知冲突,激发起学生构建认知结构的主动性和迫切性.

师:对一些特殊的事件,我们可以构造出计算其概率的通用方法.古典概型就是其中一种可以用公式计算概率的特殊的模型.——引入课题                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

(二)自主探究,意义建构

建构一、 基本事件

1问题探究  1)抛掷一枚质地均匀的硬币(2)抛掷一枚质地均匀的骰子

以上两个试验可能出现哪几种结果?

生:试验1)中,结果只有两个,即“正面朝上”或“反面朝上”;

试验(2)中,所有可能的结果只有6个,即出现“1点” “2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”.

师:非常好!这些结果都是随机事件,我们把这类随机事件称为基本事件.

2.概念生成

1)基本事件的意义:在一次试验中,所有可能发生的基本结果是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描述,这样的事件称为基本事件.

2)基本事件的特点:

(ⅰ)任何两个基本事件是互斥的;

(ⅱ)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和

3)问题:试验(ⅰ)中,必然事件由哪几个基本事件组成?

           试验(ⅱ)中,随机事件“出现偶数点”由哪几个基本事件组成?

3. 概念应用  1.从字母abcd任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件?事件取到字母a”包含哪几个基本事件?

分析提炼:我们一般用列举法表示一个随机试验的全部基本事件,画树形图是列举法的基本方法.用列举法表示基本事件时,必须不重不漏.

【设计意图】 通过典型、丰富的具体例证,引导学生分析、思考、尝试、感悟,体会基本事件的意义和特点,主动生成概念,通过应用,加深对概念的理解.

师:上述试验中出现的基本事件在个数上以及出现的可能性方面有什么特点?

进一步引导学生思考,发现不同问题中蕴含的共同的本质特征,概括出概念的本质属性,自然而然生成古典概型的定义.

建构二、古典概型

1.概念生成

1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性);

2)每个基本事件出现的可能性相等(等可能性).

我们将具有这两个特点的概率模型成为古典概率模型,简称古典概型

2. 概念应用  2.下列随机试验是否属于古典概型?

1一个袋中装有3个大小完全相同的球,红、黄、黑各一个,从中摸出一球;

2一个袋中装有4个大小完全相同的球,红、黄各一个,黑两个,从中摸出一球;

3)向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆面内任意一点都是等可能的;

4)某射手一次射击命中的环数

【设计意图】 通过概念的辨析,以实例(正例、反例、特例等)为载体,引导学生正确理解概念中关键词的含义,对概念内涵进行“深加工”,对概念要素作出具体界定,形成用概念作判断、用概念解决问题的基本思想和具体方法.

建构三、古典概型的概率公式

1问题探究

1)掷一枚质地均匀的硬币,分别求出出现“正面朝上”与“反面朝上”的概率;

2抛掷一枚质地均匀的骰子,求出现1点” 的概率;出现“偶数点“的概率呢?

2. 概念生成

1)基本事件的概率:如果一次试验由 个基本事件组成,而且所有的基本事件出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是  

(2)随机事件的概率:如果某个事件 包含的基本事件有 个,那么事件 的概率 =  

3)古典概型的概率公式  =

【设计意图】 通过具体的问题,引导学生尝试利用古典概型的基本概念和概率的基本性质计算随机事件的概率,获得概率计算的直接经验,加深对概念本质的理解;同时,通过分析,归纳出古典概型的概率公式,经历概念的概括过程,动态生成古典概型问题的研究方法

() 应用拓展, 深化理解

3:单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从ABCD四个选项中选择一个正确答案,问一个考生答对的概率是多少?

1)考生掌握了考查的内容;

2)考生掌握了部分考查的内容,用排除法选择了一个答案;

3)假设考生不会做,他随机的选择一个答案;

拓展思考:在标准化的考试中既有单选题又有多选题,多选题从ABCD四个选项中选出所有正确答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案,多选题更难猜对,这是为什么?

分析提炼:如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案,这种情况不属于古典概型,不满足“等可能性”;如果考生掌握了部分考查的内容,用排除法选择了一个答案,这种情况不属于古典概型,不满足“等可能性”;如果考生不会做,他随机地选择一个答案,这种情况属于古典概型.

4:同时掷两个骰子,计算:

1)一共有多少种不同的结果?

2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?

3)向上的点数之和是5的概率是多少?向上的点数之和是7的概率是多少?

拓展思考:为什么要把两个骰子标上记号? 如果不标记号会出现什么情况?

分析提炼:如果把两个骰子标上记号,共有36种不同的结果,且这36种结果是等可能的;如果不标记号,所有可能的结果共有21种,此时,这21个结果不是等可能发生的,不满足古典概型的要求.因此,用古典概型计算概率时,必须先考察是否符合古典概型的条件:有限性和等可能性.

【设计意图】 通过概念的综合应用深化学生对古典概型基本概念、基本方法的理解,让学生在情景变化中进行正反对比、纵横联系,通过对概念内涵和外延的认识,更深刻地理解概念的本质,在概念的系统中完成相关知识的构建.

(四反思小结

1、古典概型的概念

2、古典概型的计算公式

3、在使用古典概型的概率公式时,需要注意什么问题?

4、求基本事件的方法之一:列举法

四、教学思考和感悟

1.课堂实施

研究古典概型,重点是概念教学,概率计算的前提是对古典概型概念本质的深刻理解和准确把握.本课例采用探究式教学,灵活创设问题情景,引导学生自主探究,无论是基本事件的意义,古典概型的概念,古典概型的计算公式,都是在学生尝试、体验的基础上,通过抽象概括,揭示本质、主动生成;而应用概念对实际问题进行思考、判断,解决问题的过程则是对概念更深层次的理解和构建,对内涵和外延的认识有效促进了概念的内化,培养学生“不断回到概念中去,从基本概念出发思考问题、解决问题的习惯”,加深本质理解,提高迁移能力,从基本概念的联系中寻求解决问题的新思路.

数学概念高度抽象,人类认识数学概念具有“渐进性”和“曲折性”,不可能一次到位,需要一个螺旋上升、不断再概括的过程.概念教学必须符合学生的认知水平,遵循学生的认知规律,通过丰富的实例,让学生在情景变化中对比正反、加强联系、构建知识网络.理解古典概型的概念关键在于理解基本事件的概念本质,本课例以具体事例为载体、以思维活动为主线,以自主探究为推进,以实际应用为目标,通过典型、丰富的具体例证,引导学生思考,分析、尝试,探究,层层推进,逐步深化,经历知识的发生、发展过程,分析概括其中蕴含的本质属性,发现规律和问题解决的途径,主动生成概念,形成知识,获得古典概型的研究方法,课堂教学循序渐进,水到渠成.

2.教学效果

根据学生思维的发展过程,层层递进,创设良好的问题情景,激发学生自主探究的热情,让学生在解决问题的实践中体验、感悟、提升.整个过程学生参与积极,思维活跃,互动热烈,顺利完成教学任务,预设目标达成度较好.

课堂教学以生为本,关注学生的情感、意志、品质、价值观.以学生思维的最近发展区为起点,情景灵活,内容丰富,重视学生能力的培养和主体性的发挥,符合学生的认知规律,有助于学生自主学习、探究和综合运用能力的提高.

3.反思提高

新课标指出:“教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握,对一些核心概念和基本思想要贯穿数学教学的始终,帮助学生逐步加深理解.” 数学概念是现实世界中空间形式和数量关系的本质属性的概括与反映,是数学发展的基础,也是学生数学思维的细胞.数学概念既是建立数学定理、法则、公式的基础,也是进行数学推理、判断、证明的依据,更是形成数学思想方法的出发点和解决数学问题的前提.数学概念是数学地认识事物的思想精华,蕴涵了最丰富的创新教育素材.数学是用概念思维的,在概念学习中养成的思维方式、方法以及迁移能力也最强.因此,概念教学在数学教学中有着重要地位.正确理解数学概念是掌握数学知识的前提,也是理解和体会数学思想方法的基础,更是提高解题能力的关键.只有深刻理解概念,才能在解题中作出正确的判断,数学学习是从概念学习开始,数学教学应从概念生成出发.

心理学研究表明:数学概念的学习要经历感知、理解、保持和应用四种心理过程.教师在进行概念教学时,要“讲背景、讲思想、讲应用”,重视基本概念在智力开发、能力培养、情感体验、认知训练等方面蕴涵的教育价值,深入挖掘新旧知识间内在的联系,追寻知识发生的轨迹,遵循学生认知发展的规律,循序渐进,水到渠成,引导学生主动完成新知识的构建.

 

 

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