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关注解题教学,激活数学思维——浅谈如何在高中数学教学中实施有效的解题教学
发布时间:2012-03-01 点击数:4210

关注解题教学,激活数学思维

——浅谈如何在高中数学教学中实施有效的解题教学

浙江省嘉兴市第一中学     沈微微

一位数学家曾说:学数学的最好办法是“做数学”。就中学数学而言,“做数学”也就是做数学题。数学离不开解题,数学解题活动是一种学习和认识活动,是对数学概念、定理的再学习、再认识,对数学思想、方法的新领悟、新熟练,也是运用数学知识、数学方法、数学经验解决新问题的活动,是一个数学的发生、掌握和运用过程,是数学思维的集中表现。同时,数学解题也是一种数学教学的调节器,评估思维水平,评价学习能力,诊断教学效果,调控教学方向。如何在高中数学教学中实施有效的解题教学,培养学生的数学思维,提高学生的数学能力,发挥解题教学的数学育人功能,是数学教师值得研究和关注的问题。本文将就此作一些粗浅的探讨。

一、科学审题,把握解题本质

解题教学的第一课就是指导学生科学审题。审题就是明确问题,明确已知与欲求,从题目本身获取“怎样解这道题”的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息。需要审明三点:

1、题目的条件及其数学含义。题目的条件是解题的起点,预示“可知”和启发解题手段,并为解题提供行进中的加油站。

2、题目的结论及其数学含义。题目的结论是解题的目标,预告“需知”和引导解题方向,并为解题提供及时纠偏的指南针。

3、题目的条件和结论之间的数学联系和逻辑结构。审题不仅开始于解题的第一步,而且贯穿于探求的过程与结果的反思,是循环往复、不断深化的过程。

具体可分为4个步骤:

1)读题——明确字面含义。逐字逐句读懂题目,从语法结构、逻辑关系上分析条件和结论,其次从答题形式、数据格式上明确解答要求。

2)理解——明确数学含义。将题目中的文字语言转化为数学的符号语言、图形语言,获取数学符号信息和图形信息,激活相关的数学知识。

 (3)表征——识别题目类型。审清题意,识别题型,提取相应解法,即模式识别。即使是新的“陌生情景”,也有了解决问题的逻辑起点与推理目标,可以顺利进入下一阶段——拟定计划。

4)深化——趋近深层结构。解题是一个从记忆模仿到探索发现的过程,关键在方法的探索发现,核心是通过推理论证获得符合数学事实的结论。对于“形似而质异的、或综合性较强的题目,其一需要在解题思路探求中,特别是思维受挫时,继续分析题意。其二是在解法初步得出时,回顾反思、再认识,更本质地理解题意,努力趋近问题的深层结构。

二、以退求进,探索解题思路

人们认识事物,往往要经历一个由特殊到一般、由简单到复杂、由具体到抽象的循序渐进的过程,对于复杂、抽象事物的理解和掌握,常以已有的知识经验为基础,或借助于具体的事例、直观的经验,由表及里、由浅入深。从简单开始,从特殊入手,以退求进,是探寻解题思路时的一种重要策略。退,从一般退到特殊,从复杂退到简单,从抽象退到具体,从整体退到部分,从高维退到低维,通过“退”将问题简化,先解决简单的情况,再归纳、联想、发现一般性,从而达成原问题的解决。取特值、极端化、特殊化等都是以退求进,探索解题思路的方法。

【例1】是否存在常数 ,使不等式 对任意正整数 恒成立?试证明你的结论。

分析:本题是关于存在性的证明问题,需要先探究是否存在,并求出具体数值,再进行证明。难点是结论不明确,变形方向不易确定。当找不到解题方向时,可以先“退”,取特殊值、考虑特殊位置、特殊结构等,先得到可能的结论,确定方向后,再加以证明,解题目标就容易实现。

解:不妨先考虑特殊情况。

时,

若使存在,则 只能为 。然后再证明 是否对任意正整数 恒成立。(略)

问题复杂时,可考虑从简单的情况入手研究,发现规律,获得解题启示;问题抽象时,可采用化抽象为具体的方式,通过赋值、试算等,把抽象问题简单化、具体化,有助于准确理解题意,并通过简单问题的解决过程,类比提炼出解决一般问题的方法。问题中变量多时,可先使变量取定值,探讨解法,再启发引导得出一般解法。将问题简化,先解决个别问题,先“退”,是处理一些较复杂问题的有效策略。从具体到抽象,从个别到一般,也符合学生的认知特点,有利于学生的认知建构。

三、多想少算,优化解题策略

解题离不开运算,而运算工具的选择与使用,运算方法的合理与简捷,运算程序的设计与优化,运算结果的准确与检验等,都离不开思维。“多想少算”应该是数学教学的原则和数学解题的基本策略。仔细审题,大胆联想,合理归类,有效识别,充分发掘隐含条件,加强横纵联系,开启思路,综合运用多种方法:巧用定义、活用公式、数形结合、引用重要结论、构造函数方程、特殊化、极端化、估算、正难则反、设而不求等,都可以简化运算,缩短解题过程。

 【例2】方程 表示的曲线是(     

( )椭圆         ( )双曲线         ( )抛物线       ( )

分析:此题如果采用常规解法,两边平方化简方程,一方面运算量大,比较繁琐,另一方面,等号右边将出现 项,超出高中阶段所研究的曲线方程范围,解题受阻。联想等号左右两边代数式的几何意义,结合圆锥曲线的定义,可得以破解。

解:所给方程可化为: ,此方程表示动点 到定点 与定直线 的距离相等,由抛物线的定义知原方程表示的曲线是抛物线。正确选项为

在解题教学时加强策略意识的培养,不仅要有思路,而且还要有更科学的思路,减少思维回路,简短解题长度,减少干扰和犯错的机会,优化解题策略,同时也优化思维品质,能有效提升学生的学习兴趣,让学生充分体验和享受解题的乐趣和成功感。

四、发掘隐含,突破解题瓶颈

数学题中的“隐含条件”是指已经包含于题目的文字叙述、图形表示或符号表达当中,但又未明确指出的条件。它们往往含而不露,具有一定的隐蔽性与深刻性,极易被忽视,但对揭示题目的本质特征,实现解题突破却起着关键的作用,具有重要的解题价值。深入挖掘题目中的“隐含条件”是成功解题的关键之一。同时,数学题目中的“隐含条件”还具有重要的纠错功能,只有充分关注,并灵活运用隐含条件才能实现正确解题。

【例3】已知 ,求函数 的最值

分析:本题中欲求最值的函数可以化为关于 的一元二次函数,配方求最值。容易忽略的是正弦函数的有界性,决定了 的取值范围,是一个隐含条件。本题中的隐含条件主要表现为已知条件之间的制约关系,以及数学对象(如正弦函数、二次函数)本身包含的性质等等,对已知条件之间制约关系的深刻挖掘与灵活运用成为问题解决的关键。

解:由

代入得:

时, 时,

数学题目中的“隐含条件”经常巧妙地隐藏在题设的背后,要挖掘出这些条件需要解题者牢固掌握数学双基,及其蕴含的数学思想方法,同时具备敏锐的观察能力,丰富的联想能力以及深刻的抽象概括能力,善于积累、运用和拓展解题模式,促进知识正迁移。教师在数学解题教学中要培养学生认真审题,周密思考的良好习惯,善于捕捉题目中的蛛丝马迹,多角度、多方向、多层次上挖掘隐含条件,不断增强洞察和显化隐含条件的能力,既有利于培养学生良好的数学思维品质,也有利于培养学生的创新意识与创新能力。

五、一解(题)多题(解),提高解题效率

既要重视“一题多解”,也要关注“一解多题”。“一题多解”是从不同的角度观察、联想,探索多种途径解决同一个问题,训练的是学生思维的深度;“一解多题”指的是用同一种方法解决某一类问题,训练的是学生思维的广度。多角度、多层次地分析同一个问题,“一题多解”可以拓宽思路,启迪思维;从问题解决过程中总结概括出具有普适性的典型方法 ,“一解多题”可以解决一类问题,获得数学的通性通法。重视“一题多解”和“一解多题”,通过问题解决让学生理解概念、掌握方法,领悟思想,开拓思路,发展思维,提高解题效率,培养学习兴趣和创新能力。

 【例4】已知钝角三角形的三边分别为 ,试确定 的取值范围。

解法1:易知, ,且最大角的余弦值满足:

解得

解法2:易知, ,且最大角的余弦值满足:

,解得

解法3:设 ,其中 延长线于 ,易知,

,整理得

,又

六、变式训练,拓展解题思维

思维的灵活性是指思维活动的灵活程度,它反映了智慧能力的迁移,能随事物的变化而随机应变、触类旁通,不局限于某一方面,能克服消极定势的负面影响。在解题教学中,改变单一的封闭题型,变换观察问题的角度,充分应用一法多用,一题多解,一题多变,设计变式训练,开阔解题思路。

【例5 若不等式 恒成立,求 的取值范围。

变式1 (增设条件)若不等式 对满足 的所有 都成立,求 的取值范围。

变式2  (变换问题)是否存在这样的实数 ,使得 的定义域为 ?若存在,求出 的取值范围,若不存在,说明理由。

变式3  (变换结论) 函数 的值域为 ,求 的取值范围。

变式4  (变换参数) 若不等式 对满足 的所有 都成立,求 的取值范围。

从知识的系统性、整体性出发,探索数学知识之间逻辑与方法上的关系,深入挖掘,精心创编题组,通过变式训练,一题多问、一题多变、一题多解,引导学生体会知识的内在联系和变化规律,感受蕴含其中的思想方法,锻炼思维的灵活性、开放性和创造性,以点带面,以少胜多,触类旁通,掌握成功解题的“金钥匙”。

七、主动反思,完善解题效能

解题反思是数学解题教学的一个重要方面,包括对数学命题的重新认识和对解题方法的评价。指导学生学习科学的解题反思方法,引导学生解题后主动反馈,对原问题进行再认识:条件是否冗余?表达是否严谨?结论是否可以推广等。对解题过程进行分析,对解题方法加以概括,对解题经验进行提炼,并尝试消减思维回路,有助于实现解法优化,形成一题多解,或一解多题,有效促进学生解题由“自发领悟”向“自觉分析”转化,提高解题能力,实现高效解题。

数学解题教学是一项长期的系统化的工作,涉及数学知识、数学方法、数学策略、数学思想、数学素养等方方面的内容。知识储备不丰富,基本方法不熟练,思维品质不严密,数学直觉不敏锐,观察问题不全面等都可能产生思维障碍,导致解题失败。教师必须将解题教学落实到日常教学的每一天,指导学生学会观察、思考、联想、转化、总结、反思,加强训练,加强渗透,有效实施解题教学,切实提高学生的解题能力和数学素养。

 

 

附:参考文献

[1]罗增儒.  高考复习20问, 中学数学教学参考, 2010(5)

[2]王志江.  论特殊化思想在培养思维能力中的作用,数学通报,20086

[3]赵思林.  基于多想少算的数学解题策略,中学数学研究,20104

[4]罗增儒   马文杰.数学题中“隐含条件”的解题功能研究,中学数学研究,20106

[5]杨苍洲.  例谈递推数列通项的求法,中学数学研究,20106

[6]罗增儒   数学解题学引论[M],陕西师范大学出版社,1997

 

 

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