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刘舸:利用向量的坐标运算解决立体几何问题
发布时间:2012-03-13 点击数:3113

       

刘舸,男,19777月出生,中学高级教师,大学本科学历,于2001年毕业于东北师范大学数学与应用数学专业,获理学学士学位。07年被授予数学奥林匹克壹级教练员称号,0611年被“希望杯“组委会授予数学竞赛优秀教练称号;05年荣获嘉兴市“双高课”市属级一等奖,08年荣获嘉兴市属级优秀教师称号;11年被评为嘉兴市第十批学科教学带头人。

教学风格幽默风趣,任教班级在各级各类数学考试中,成绩优异。曾参与《几何画板课件制作百例》等4本教辅用书的编写,论文《数学实验与研究性学习整合案例一则》获嘉兴市一等奖,案例《课堂教学中的突发事件》获嘉兴市一等奖,另2篇论文获嘉兴市二等奖。发表论文《试析新课程理念下信息技术与数学课程整合的切入点》10余篇,其中2篇发表在国家级核心期刊上。09年《摆线》荣获全省第十二届教师自制多媒体教育软件评比活动中学组信息技术与学科教学整合课件一等奖,10年在第七届全国部分重点高中“激活课堂”数学教学研讨活动所展示的“方程的根与函数的零点”教学过程获得师生及专家一致好评。在几何画板与高中数学课程整合上有较深的认识,曾2次在嘉兴市高中数学骨干教师培训班作《几何画板》主题讲座,10年在浙江省新课程培训暨疑难问题解决研讨会上作了《几何画板与高中数学的整合》专题报告。他热心教学,其座右铭是要做就做最专业的。

 

 

 

    课题:利用向量的坐标运算解决立体几何问题

一、教学目标

(一)知识与技能

通过例4的学习,学生能建立适当的坐标系,利用向量的坐标运算解决立体几何问题.

(二)过程与方法

通过与学生共同探讨在建系条件下例4的解法,使学生体会合理选择方法,会简化运算,提高解题的准确性.

(三)情感态度与价值观

通过例4的学习,使学生进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛应用,深刻感受空间向量的工具性及其价值.

二、教学重点、难点

重点:向量的坐标运算解决立体几何中平行、垂直、夹角等问题.

难点:建立适当的空间直角坐标系.

三、教学过程

1.复习导入

在立体几何中,有两类问题,一类是位置关系(平行或垂直),另一类是度量问题(长度或角度).可以利用向量的数乘运算、数量积运算解决.利用向量来解决立体几何问题,有两种方法,一种是选择基底(用基向量去表示相关向量,利用向量及其运算解决),另一种是建系(建立空间直角坐标系,向量用坐标表示,通过向量的坐标运算解决问题).无论哪一种方法,都是代数的方法.

今天,我们来学习利用向量的坐标运算解决立体几何问题.

2.利用向量的坐标运算解决立体几何问题

1.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD 底面ABCDPD=DC,点EPC的中点.

1)取PE中点GAB中点H,连结GH.证明GH//平面EDB

解:建立如图所示空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1.

1)证明:依题意得B1,1,0, ,则 .

(平面向量基本定理)(向量的线性运算),

,则有 ,得 .所以, ,又因为 平面EDB,所以GH//平面EDB.

问题1:还有别的方法吗?

1)法向量的方法:直线的方向向量与平面的法向量垂直,数量积为零(数量积运算)

2)连结HC,交DB于点S,证明 ,即证 (共线向量基本定理)(数乘运算)

问题2:这几种方法你会优先选择哪一种?为什么?

选择哪一种方法,可以看该方法是否使运算简化.所谓向量的方法,就是一个字“算”,所以,简化运算是我们必须要考虑的.建立适当的坐标系对简化运算也起着重要的作用.如何建立适当的坐标系呢?我们通过下面这个问题来探讨一下.

问题3:如果 ,如何建系?

建系一般要考虑两点:

1、要充分利用图形的垂直关系和对称关系;

2、让尽量多的点或线落在坐标轴上或坐标平面上.

(点的坐标简单了,向量的坐标也就简单了,向量运算也就简单了)

2)过点E ,垂足为F,连结DF.证明: 平面EFD.

依题意,P(0,0,1),B(1,1,0),则 .

,则 ,即 . ,所以 平面EFD.

小结:结合第(1)、(2)小题,利用判断定理证明线//面、面//面,都可归结为证明线//线,进而转化为向量平行的问题;利用判断定理证明线 面、面 面,都可归结为证明线 线垂直,进而转化为向量垂直的问题,分别利用向量的数乘运算、数量积运算来解决.

问题4:还有别的方法吗?

如果易求得平面DEF的法向量,还可以利用平面DEF的法向量平行于向量 来解决.

3)求二面角C-PB-D的大小.

1:向量 与向量 所成角的大小就是二面角C-PB-D的大小.关键:求出点F的坐标.

问题4:点F满足什么条件?(共线、垂直)(引导)

. ,由题意知 ,则有 ,可得 .所以,点 . 所以, .

因为 ,所以 ,即二面角C-PB-D的大小为 .

问题5:还有其他方法吗?

2:(法向量)易知 是平面 的法向量, 是平面 的法向量(需要证明 平面PDB 平面PBC)则 = = . 所以二面角C-PB-D的大小为 .

注意:法向量所成角的大小与二面角的大小关系:相等或互补,所以,需确定是锐二面角还是钝二面角.

点拨:简化运算,是我们选择方法必须要考虑的.

四.课堂小结

1、利用向量的坐标运算来解决立体几何问题,运算是很关键的.如何简化运算?

1)、建立适当的坐标系;

2)、选择适当的方法.

2、结合本例,凡是涉及平面的问题,都可以利用什么来解决?平面的法向量

五.课后作业

1、不用向量的坐标运算的方法,再去考虑一下本例题,体会其他方法与这种方法的不同.

2、探究1,探究2.

探究1:若点F为线段PB上的动点,是否存在点F使得二面角F-DE-B为直二面角?若存在,请求出点F的位置;若不存在,请说明理由.

解:假设存在这样的点F使得二面角F-DE-B为直二面角.

. .因为 ,所以设平面EDB的法向量为 ,则由 得, ,则 . .所以,点存在这样的点F使得二面角F-DE-B为直二面角.

探究2:若点F为线段PB上的动点,点M为线段DC上的动点,是否存在点FM,使得FM 平面DEB?若存在,请求出点FM的位置;若不存在,请说明理由.

解:假设存在. ,根据(4)可得 ,则 . 平面EDB的法向量,则有 ,即 ,得 .

M与点C重合,点F为线段PB中点.

 

 

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