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刘舸:圆中过定点的动弦的射影的一个优美性质
发布时间:2012-03-13 点击数:4043

             圆中过定点的动弦的射影的一个优美性质

                                

                (浙江省嘉兴市第一中学   314050

笔者对圆中过定点的动弦的射影(即正投影)作了研究,得到一个关于射影最值的优美结论,现论述如下.

性质:已知圆 ,直径 互相垂直,点 为直线 上一定点,过点 的动直线 与圆 相交于点 ,动弦 在直线 上的射影为 ,则 的长 ,其中圆心 到动弦 的距离为 .

1)若 ,则当 时,

2)若 ,则当 时, .

                                  1

证明:如图1,过点 作弦 的垂线,垂足为 .为方便叙述,记 .由条件易知, .在三角形 中, ,所以 ,即 其中 的取值范围为 )).

. 时, ;当 时, .所以,函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减. ,则函数 在区间 上单调递增,所以 ,则函数 在区间 上递增,在区间 )上递减或在区间 )上递减,无论那种情况,都有 .

 

 

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